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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand\yourName{Réalisé: NGUYEN Van Tho, KHONG Minh Thanh\\
					 Encardrement: Alexis Drogoul}
\newcommand\yourKeywords{TP, Modélisation et simulation des systèmes complexes}
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\newcommand\yourTitle{\Huge Modélisation et simulation des systèmes complexe\\ \Large  
Mini Projet: Daisy world
}

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\begin{document}
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\author{\yourName}
\title{\yourTitle}
\maketitle
\section{Introduction}

En 1983, Watson et Lovelock ont proposé le modèle 'Daisyworld’ comme une manifestation de  
l'homéostasie par et pour la biosphère, le fondement mathématique est l'hypothèse Gaïa 
(Lovelock, 1972). Daisyworld est une planète hypothèse qui est éclairée par le Soleil et 
la luminosité du Soleil augmente en fonction de temps. Dans cette planète il y a que deux 
espèces: marguerite blanche et noire. Ces espèces se développent pour faire face aux 
changement de la climat.

Dans ce projet, nous faisons d'abord deux modèle: un modèle mathématique et un autre 
modèle basé sur le système multi-agents. Ensuite, nous expérimentons les différentes 
scénarios avec ces deux modèles pour  examiner les facteurs qui affectent le Daisyworld.
% changeons les facteurs et faisons les expérimentations dans ces deux modèles pour regarder les changements dans ce système. dans le plate-forme Gama

\section{Modèle mathématique}
Dans cette section nous décrivons le modèle mathématique Daisyworld.
\subsection{Albédo}
Nous avons albédo de la planète, de la terrain, et des marguerites blanche et noire.
\begin{itemize}
\item Albédo de la terrain: ${A_g = 0.5}$
\item Albédo de la marguerite blanche: ${A_w = 0.75}$
\item Albédo de la marguerite noire: ${A_w = 0.25}$ 
\end{itemize}

Quand on sait le taux de la superficie de la marguerite blanche $\alpha_{w}$, de la 
marguerite noire $\alpha_{b}$, et de la terrain $\alpha_{g}$, ( 
$\alpha_{w},\alpha_{b},\alpha_{g} \in [0,1]$, $\alpha_{w} + \alpha_{b} +\alpha_{g} = 1$ ), 
on peut calculer l'albédo de la planète:
\begin{equation}\label{math:albedo}
A = \alpha_{g}A_{g} + \alpha_{b}A_{b}  + \alpha_{w}A_{w} 
\end{equation}

Cette formule permet de calculer la température de la planète.
 
\subsection{Température} 
La température de la planète est calculée selon la formule suivante:
\begin{equation}\label{math:planet_temp}
T = \sqrt[4]{\dfrac{SL(1 - A)}{\sigma}} - 273
\end{equation}

Où:
\begin{itemize}
\item $S$: constant flux solaire $864.65W/m2$
\item $L$: luminosité solaire, elle varie entre 0.6 -> 4.0
\item $\sigma$: Stefan–Boltzmann constant $5.67e-8$
\end{itemize}

Normalement, si $L=1.0$ la température de la planète = 22.5°C. Pour calculer la
température des marguerites, nous suivons la formule:
\begin{equation}\label{math:daisy_temp}
T_i = h*(A-A_i)+T
\end{equation}
Où:
\begin{itemize}
\item $i$: marguerite blanche(w) et noire(b)
\item $h$: la facteur absorbée de chaleur = 20
\item $T_i$: température de la marguerite i
\end{itemize}

\subsection{Croissance et mort des marguerites}

Le taux de croissance $\beta_{i}$  dépend de la température de chaque marguerite:
\begin{equation}\label{math:daisy_grow}
\beta_{i} = 1 -\dfrac{4}{(40-5)^2}(22.5 - T_{i})^2 = 1 -0.003265*(22.5 - T_{i})^2\\
\end{equation}

$i$: marguerite blanche(w) et noire(b)

\subsection{Équation de développement}
Le taux de mort: $\gamma = 0.3$ 

Les marguerites se développent selon les équations différentiels:\\
\begin{equation}\label{math:daisy_equation}
\dfrac{d\alpha_{i}}{dt}=\alpha_{i}(\alpha_{g} * \beta_{i} - \gamma) + 0.001
\end{equation}

$i$: marguerite blanche(w) et noire(b)

Le 0.001 est une petit facteur pour que les marguerites puissent se développer. Quand on résout ces équations on obtient l'évolution des marguerites. 


\section{Modèle à base d'agent}
\subsection{Agents}
Dans cette section, nous décrivons le modèle à base d'agent de Daisyworld. Le modèle a quatre type
d'agent: La marguerite blanche, la marguerite noire, la gaine de marguerite blanche, la gaine de 
marguerite noire. Les marguerites ont des tailles différentes. Elles ont des propriétés 
ressembles aux celles dans le modèle mathématique telles que l'albédo, taux de 
reproduction... 
Cependant, dans ce modèle, une marguerite peut diffuser ses graines sur le terrain étant près d'elle. 
\subsection{Croissance et mort des marguerites}
Les graines peuvent se développer aux marguerites. La possibilité pour une graine se développe à une marguerite au moment t
est comme dans ce formule:

\begin{equation}\label{agent:daisy_grow}
 \beta(t) = 1 - \frac{(T_{op_{i}} - T)^2}{17.5^2}
\end{equation}
Où:
\begin{itemize}
 \item $\beta(t)$: Le taux de germer d'un gaine au moment t
 \item $ T_{op_{i}}$: La température optimale de marguerite blanche ou noire
 \item $ T $: La température de local où la gaine situe  
\end{itemize}
Le taux de mort est gardé comme celui de modèle mathématique:
\begin{center}
 $\gamma(t) = 0.3$ 
\end{center}

\subsection{Modèle spatial de température}
Dans ce modèle, nous utilisons le modèle de température en 2D. La planète est divisé en NxN cellules. La température
est diffusé dans les cellules selon la fonction différentielle:

\begin{equation}\label{agent:cell_heat}
 T_{t + 1}(i,j) = f((1-D)T_{t}(i,j) + \frac{D}{4}(t_{t}(i-1,j) + t_{t}(i+1,j) + )t_{t}(i,j - 1) + t_{t}(i,j + 1))
\end{equation}
Où:
\begin{itemize}
 \item $T_{t}(i,j)$: la distribution spatio-temporelle de la température locale; t est le pas de simulation; (i,j) est 
 un point avec l'indice i,j tel que 0 <= i,j < N 
 \item $D = \dfrac{D_{T}}{C}$: la constante de diffusion normalisée par la capacité thermique; 
 DT est la constante de diffusion thermique, C est la capacité calorifique
 \item $f(T)$: la fonction d'évolution de la température
\end{itemize}
\begin{equation}\label{agent:planet_heat}
f(T) = T + (SL(1-A)-\sigma T^4)/C + \xi
\end{equation}
Où:
\begin{itemize}
 \item  bruit blanc gaussien avec une moyenne de 0 et un écart déviation 1,0
\end{itemize}
\subsection{Albedo}
Albedo d'un point i,j est calculé par ce formule:
\begin{itemize}
 \item Si ce point est occupé par les deux types de marguerites:
  \begin{center}
   $A_{t} (i,j) = \dfrac{A_{w} + A_{b}}{2}$
  \end{center}
 \item Si ce point est occupé par la marguerite k:
  \begin{center}
   $A_{t} (i,j) = A_{k}$
  \end{center}
 \item Si non:
  \begin{center}
   $A_{t} (i,j) = A_{g}$
  \end{center}

\end{itemize}

\subsection{Température globale de la planète}
La température globale de la planète est calculé par la moyenne des températures locales
\begin{equation}\label{agent:heat_global}
T_{t} = \dfrac{\sum_{i,j=0}^{i,j>N}T_{t}(i,j)}{N^2}
\end{equation}
\subsection{Couverture des marguerites}
Une cellule de terrains peut être occupée par une marguerite blanche ou noire ou les deux en même
temps. Donc, pour calculer la couverture de chaque marguerite, nous utilisons ces simplifications:
Si une cellule est occupée par les deux marguerites, nous considérons que chaque marguerite occupe 
la même surface. Dans ce cas la couverture totale de chaque type de marguerite est plus 0.5 unité
de cellule. Dans le cas où il y a un type de marguerite occupant la cellule, la couverture totale de
cette marguerite est plus une unité de cellule. Donc, la pourcentage de couverture de marguerite k
est:
\begin{equation}\label{agent:couverture}
\alpha_{k}=\dfrac{couverture\ totale\ de\ k}{N^2}
\end{equation}


\section{Expérimentation}
Nous avons fait plusieurs scénarios ...%Fix it
Pour chaque scénario, nous avons expérimentons avec tous les deux modèle: modèle mathématique et modèle
à base d'agent. Les résultats de les deux modèles sont utilisés pour comparer le modèle à base d'agent à
modèle mathématique. 

\subsection{Luminosité est constante}
Dans cette scénario, nous voulons savoir comment les marguerites s'augmentent et 
s'équilibrent quand la luminosité est constante, la terre est froid.

Nous fixons la luminosité = 1.0, la température attendu de la planète sans espèce est 
22.5°C.

	\begin{center}
	  \begin{figure}[ht]
			\includegraphics[height=6cm]{./sen1/Daisyworld_charts_snapshot277.png}
		  ~\includegraphics[height=6cm]{./sen1agent/Daisy_population_snapshot1833.png}\\
			\caption{La température et l'évolution des marguerites quand luminosité = 1.0\\
			\hspace*{1.9cm}Modèle mathématique à gauche et modèle d'agents à droite}
	  \end{figure}
	\end{center}

Dans le modèle mathématique, nous voyons que la température changent tout de suite à 22.5°C, c'est parce que, au début la planète n'a aucune espèce, alors albédo de la planète = 0.5. Selon la formule de calcule la température \eqref{math:planet_temp}, nous obtenons le résultat 22.5°C. Comme il fait 22.5°C, c'est une condition idéale pour les deux marguerites. Elles s'augmente très vite et atteindre la balance entre elles. La taux de couverture des deux sont égales. 

Quand nous regardons le modèle d'agents, c'est un peu différence que le modèle mathématique. La température augmenter de plus en plus en fonctionne du temps, ça correspond à la réalité: quand l'intensité du soleil augmente, la température de la Terre change petit à petit, elle ne peut pas changer tout de suite comme dans le modèle mathématique. Comme la température augmente de plus en plus de -6.5°C, c'est une bonne condition pour la marguerite noire, car il peut absorber la lumière et atteindre la bonne température. La marguerite noire se développe très vite. Comme elle devient nombreuse, la température du Daisyworld augmente. Grâce à la marguerite noire, la température de la planète augmente plus vite que celle de la planète sans marguerite. Après quelque temps, le Daiworld a chaud, la marguerite blanche s'augmente, et la marguerite noire diminue un peu parce qu'elle ne va pas bien avec la température élevée. La situation continue entre elles. Après quelque temps, elles s'équilibrent, la température de la terre est 22.5°C. 

On peut conclure que les marguerites peuvent s'augmenter, et s'équilibrer entre elles pour obtenir le meilleure condition même les états initiales ne sont pas très bonnes.


\subsection{Luminosité augmente linéaire}
L’objectif de ce scénario est de vérifier que les marguerites peuvent régler la 
température de la planète quand la luminosité du soleil change. Nous connaissons que dans 
ce modèle, quand il n’y a pas de marguerite, la température de la planète augmente en 
fonction de l’équation \eqref{math:planet_temp}. D’abord, nous allons comparer le monde 
avec des marguerites et le monde sans marguerite. Ensuite, nous allons comparer le 
résultat de modèle mathématique et de modèle d’agents.

Dans cette scénario, la luminosité augmente de 0.6 à 1.75 (jusqu'à quand les marguerites sont mortes). 
Chaque cycles, on augmente la luminosité par 0.0001. La température initiale = -20°C.

	\begin{center}
	  \begin{figure}[ht]
		\includegraphics[height=6cm]{./sen2/Daisyworld_charts_snapshot11257.png}
	  ~\includegraphics[height=6cm]{./sen2/Agent13000.png}\\
		\caption{
		La température et l'évolution des marguerites quand luminosité = 0.6 -> 1.75\\
		\hspace*{1.9cm} Modèle mathématique à gauche et modèle d'agents à droite}
	  \end{figure}
	\end{center}

Voir les figures de résultats de cette expérimentation, on constate que dans tous les
deux modèles (Mathématique et agents) les marguerites peuvent équilibre la température
de la planète à la température, la température optimale pour les marguerites. Au début
des simulations (jusqu’à 1500e pas), la température de la planète est trop petit pour que
les marguerites puissent vivre. Donc, il n’y pas de marguerite habitant sur la planète. En
conséquent, la température de la planète dans tous les cas sont égales. Pourtant, quand la
température de la planète atteint environ 5°C, les marguerites noires commencent à habiter
sur la planète. Ces fleurs, avec un albédo de 0.25 qui est plus petit que celui de 
terrain,
absorbent plus de lumière du soleil. L’apparition de cette fleur augmente la température 
de
la planète plus vite. À pas environ 2000, la température de la planète atteint la 
température
optimale pour les marguerites (22.5°C). À partir de ce moment, les marguerites blanches et 
noires
co-habitent sur la planète. Cette co-habitation réglet la température de la planète autour 
de la
température optimale 22.5°C. Puisse que la luminosité continue à augmenter, la chaleur que 
la planète
reçoit augmente. Donc, la marguerite qui réflexe plus la lumière, se développe plus vite 
et domine la marguerite noire. Par contre,
le nombre de marguerite noire diminue et elle est disparue à pas 9000 de la simulation. À 
partir
de ce moment, la marguerite blanche continue à régler la température de la planète jusqu'à 
pas 10700 pour 
modèle mathématique et 11900 pour modèle d'agents. À ce point là, l'énergie que la planète 
reçoit est trop
importante et la marguerite blanche ne peut plus régler la température de la planète et 
toutes les marguerites meurent très vite.
La température de la planète augmente très vite et presque asymptote celui de la planète 
de modèle sans marguerite.

Maintenant, nous allons comparer le résultat de modèle mathématique et de modèle d'agents. 
Nous constatons que
les résultats de les deux modèles sont assez ressembles. Cependant, dans modèle d'agents, 
la régulation des
marguerites sont toujours plus tard. En fait, les marguerites doivent diffuser leurs 
gaines et il prend de temps pour
que les marguerites puissent développer. De plus, l'apparition des lieux avec différentes 
températures peuvent empêcher 
le développement des marguerites. Cependant, cette différence de température peut aider 
les marguerites à exister plus long que celles dans modèle mathématique à la fin des 
simulations.


\subsection{Choque thermique et coup de froid}
Dans cette partie, nous continuons sur le scénario. Lorsque la planète s'équilibre, nous changeons la luminosité de 1.0 à 1.2, ça veut dire que le Soleil émette beaucoup d'énergie sur le Daisyworld. En autre scénario, lorsque la planète s'équilibre, nous changeons la luminosité de 1.0 à 0.8, ça veut dire que le Daisyworld reçoit moins d'énergie du Soleil.
Nous voulons savoir comment les marguerites s'adaptent à ces changements.

\pagebreak
	\begin{center}
	  \begin{figure}[ht]
		\includegraphics[height=6cm]{./sen3/Daisyworld_charts_snapshot417.png}
	  ~\includegraphics[height=6cm]{./sen3agent/Daisy_population_snapshot2316.png}\\
	  	\caption{\textbf{Choque thermique:}
		La température et l'évolution des marguerites quand luminosité = 1.0 change tout de suite à 1.2\\
		\hspace*{1.9cm}Modèle mathématique à gauche et modèle d'agents à droite}
	  \end{figure}
	\end{center}


	\begin{center}
	  \begin{figure}[ht]
		\includegraphics[height=6cm]{./sen4/Daisyworld_charts_snapshot428.png}
	  ~\includegraphics[height=6cm]{./sen4agent/Daisy_population_snapshot1170.png}\\
	  	\caption{\textbf{Coup de froid:}
		La température et l'évolution des marguerites quand luminosité = 1.0 change tout de suite à 0.8\\
		\hspace*{1.9cm}Modèle mathématique à gauche et modèle d'agents à droite}
	  \end{figure}
	\end{center}

Dans le modèle mathématique, nous voyons que la température changent tout de suite selon formule \eqref{math:planet_temp}, la planète devient froid L=0.8 (ou chaud L=1.2). Comme il fait froid(ou chaud), c'est une condition idéale pour la marguerite noire (ou blanche). Elle s'augmente très vite l'autre mais l'autre se diminue car ce n'est pas une bonne condition pour elle. Après quelque temps, le Daisyworld s'équilibre. On voit que la température est revenue à environ 22.5°C. Mais il y a la différence entre le taux de couverture entre les marguerites, quand la luminosité L=0.8 la majeur est marguerite noire car elle peut absorber la lumière pour revenir à la bonne condition et l'inverse quand L=1.2.

Quand nous regardons le modèle d'agents, c'est presque la même résultat que le modèle mathématique. La différence, ce n'est que la température augmente de plus en plus en fonctionne du temps. On voit aussi la diminution de la marguerite blanche (L=0.8) ou noire(L=1.2). La température globale fluctue à 22.5°C, quand les marguerites évoluent. A la fin, Daisyworld peut obtenir l'état équilibrée. On peut expliquer ce phénomène comme dans le modèle mathématique.

Comme nous voyons dans le résultat, lorsqu'il y a un changement du climat, le Daisyworld doit changer pour s'adapter à la condition. Soit la marguerite blanche se diminue soit la marguerite noire se diminue, et la reste s'augmente. Cela indique que dans la réalité, s'il y a un changement du climat, on peut voir un changement vaste des espèces de la planète.


\subsection{Luminosité augmente linéaire avec les valeurs extrêmes des albédos}
L’objectif de ce scénario est de vérifier que les marguerites peuvent régler la 
température de la planète quand la luminosité du soleil change avec des valeurs extrêmes 
des albédos des marguerites. Ce scénario est ressemble le scénario 2. La seule différence 
c'est les valeurs des albédos. Donc, dans cette scénario, nous allons examiner seulement 
l'impact de valeur d'albédo sur la changement de température de la planète et faire une 
comparaisons entre le modèle mathématique et modèle d'agents. Nous allons aussi faire une 
comparaisons au résultat de scénario 2.

Dans cette scénario, la luminosité augmente de 0.6 à 2.7, chaque cycles, on augmente la luminosité par 0.0001. 
La température initiale = -20°C. Mais ici, nous changeons l'albédo des marguerites:marguerite blanche $A_b= 0.05$,
marguerite blanche $A_w= 0.95$ et nous allons quels sont les changements dans ce système.
%\subsubsection{Modèle mathématique}
	\begin{center}
	  \begin{figure}[ht]
		\includegraphics[height=6cm]{./sen5/Daisyworld_charts_snapshot15643.png}
		  ~\includegraphics[height=6cm]{./sen5/Agent13631.png}\\
	  	\caption{
		La température et l'évolution des marguerites quand $A_b= 0.05$, $A_w= 0.95$\\
		\hspace*{1.9cm}Modèle mathématique à gauche et modèle d'agents à droite}
	  \end{figure}
	\end{center}

Voir les figures, nous constatons que la température et la surface occupée par les 
marguerites sont très instable par rapport aux ceux de modèle mathématique et même de 
modèle d'agents de scénario 2. Nous pouvons expliquer ce phénomène par les valeurs 
extrêmes des albédos. Nous allons utiliser un exemple: à un moment où la marguerite 
blanche domine la marguerite noire. Avec un albédo très grand, elle réflexe presque 
toutes les lumières qu'elles reçoivent. La température de la planète diminue très vite 
jusqu'à la température qui n'est pas préférée par la marguerite blanche mais qui est 
préférée par la marguerite noire. La marguerite noire maintenant développe près vite et 
domine la marguerite blanche. Mais cette domination augmente très vite la température de 
la planète qui préfère le développement de la marguerite blanche et ainsi de suite.

Un autre phénomène que nous apercevons est que la marguerite blanche ne peut pas occupé 
plus de 50\% de surface de la planète. Puisque les valeurs extrêmes des albédos créent 
des régions très chaudes que nous appelons des déserts. Ces régions sont si chaudes que 
les marguerites ne peuvent pas vivre. Nous pouvons voir un grand désert au sud-est de la 
planète dans la figure ci-dessous.

L'apparition des désert explique aussi pourquoi les marguerites sont disparues beaucoup 
plus vite que celles dans le modèle mathématique.

\begin{figure}[ht]
  \begin{center}
	\includegraphics[height=6cm]{./sen5/Agent8408.png}
	\caption{Un désert créé par les valeurs extrêmes des albédos}
  \end{center}
\end{figure}
\pagebreak
\section{Conclusion}
Dans ce travail, nous avons implémenté un modèle mathématique  un modèle d'agents de 
Daisyword. Nous avons aussi expérimenté les différentes scénarios pour comprendre comment 
le Daisyworld change pour s'adapter aux changements du climat. Les marguerites peuvent se 
développer ou se diminuer. Quand il y a des changements très fort, elles ne peuvent pas 
s'adapter. Même si elles peuvent s'adapter aux changements, mais nous voyons ici il y des 
changements de la quantité des marguerites. Si c'est dans la réalité, on peut voir des 
espèces qui disparaissent et celles qui s'augmentent.

Dans ce projet, pour le résultat devient plus précis, il faut expérimenter une même 
scénario plusieurs fois. Et pour les scénarios, il y a des scénarios intéressantes que 
nous n'avons pas encore expérimenté tels que le Daisyworld avec trois espèces de 
marguerite, une espèce éteinte, l'ajout des animales qui mangent un autre,...Nous laissons 
ces travaux comme le perspective.

\begin{thebibliography}{9}
\item Watson, A. J., and J. E. Lovelock, 1983. Biological homeostasis of the global environment: the parable of Daisyworld . Tellus 35B, 286-289.
\item  Daisyworld: a tutorial approach to geophysiological modelling http://www.pik-potsdam.de/~bloh/
\item  Dharani Punithan, Dong-Kyun Kim, RI (Bob) McKay, Spatio-temporal dynamics and quantification of daisyworld in two-dimensional coupled map lattices. Ecological Complexity 12 (2012) 43-57


\end{thebibliography}

\end{document}